Question

【題目】已知直線，橢圓分別為橢圓的左、右焦點.

(1)當直線過右焦點時，求橢圓的標準方程；

(2)設直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，且，若點在以線段為直徑的圓內，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)．

【解析】

(1)求出直線與軸的交點坐標，可得，再由橢圓的方程可得，聯立方程可求出，從而可得橢圓的標準方程；

(2) 設，，聯立直線的方程與橢圓的方程消去，由判別式求出的范圍，再利用根與系數關系求出和，根據，可得，，其中點坐標，由兩點間距離公式可得，又點在以線段為直徑的圓內，故，即，把和結果代入，即可求出實數的取值范圍.

解：(1)由已知可得直線與軸的交點坐標，所以①，

又②，由①②解得，，

所以橢圓C的方程為．

(2)設，，

由得，

由，又，解得 ①，

由根與系數關系，得，

由，可得，，

，

設是的中點，則，

由已知可得，即，

整理得，

又，

所以，

所以，

即，

即，所以 ②，

綜上所述，由①②得a的取值范圍為．