Question

【題目】如圖，在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，∠BAD=120°，M為CD上的點．且∠A1AB=∠A1AD=90°，AD=A1A=2，A1B1=DM=1．
（1）求證：AM⊥A1B；
（2）若M為CD的中點，N為棱DD1上的點，且MN與平面A1BD所成角的正弦值為 ，試求DN的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在平行四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∴∠ADM=60°，

在△ADM中，AD=2，DM=1，∴ = ，

可得AD2=AM2+DM2，∴AM⊥CD．

又CD∥AB，∴AM⊥AB，

∵∠A1AB=∠A1AD=90°，∴A1A⊥AB，A1A⊥AD．

又∵AB∩AD=A，AB，AD平面ABCD，

∴AA1⊥ABCD，又AM平面ABCD，

∴AM⊥AA1．又∵AB∩AA1=A，AB，AA1平面AA1B1B，

∴AM⊥平面AA1B1B．又∵A1B平面AA1B1B，

∴AM⊥A1B

（2）解：∵M為CD的中點，DM=1，∴CD=2，

所以四邊形ABCD為菱形．

分別以AB，AM，AA1為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A﹣xyz，

則點 ．

∴ ．

設平面A1BD的一個法向量為 ，則有 ，

∴ ，令x=1，則 ，

設 ，∴ ，

∴ ，

∴ ，∴2λ2﹣13λ+6=0，

∴ 或λ=6（舍去）．

∴ ．

【解析】（1）利用勾股定理逆定理得出AM⊥CD，即AM⊥AB，結合AM⊥AA1得出AM⊥平面AA1B1B，于是AM⊥A1B；（2）建立空間坐標系，根據MN與平面A1BD所成角的大小確定N點位置，從而得出DN的長．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質的相關知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．