Question

【題目】心理學家分析發現視覺和空間能力與性別有關，某數學興趣小組為了驗證這個結論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學（男30女20），給所有同學幾何題和代數題各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行解答．選題情況如下表：（單位：人）

（Ⅰ）能否據此判斷有97．5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關？

（Ⅱ）經過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時間在5—7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時間在6—8分鐘，現甲、乙各解同一道幾何題,求乙比甲先解答完的概率．

Answer 1

【答案】（I）有的把握認為視覺和空間能力與性別有關；（II）．

【解析】

試題分析：（I）本問考查獨立性檢驗，根據公式，代入數據得，所以有的把握認為視覺和空間能力與性別有關；（II）本文考查幾何概型，首先設甲、乙解答一道題的時間分別為分鐘，根據題意應滿足，在平面直角坐標系中作圖表示出不等式組表示的平面區域，為一個矩形，若乙比甲先解答完，則應滿足，在該直角坐標系中作直線，則直線的右下方表示，在矩形區域內占據的區域如圖中的陰影三角形部分，設事件“乙比甲先解完”，則根據幾何概型概率公式可知，（表示圖中陰影三角形的面積，表示矩形區域）．

試題解析：（Ⅰ）由表中數據得的觀測值

所以根據統計有的把握認為視覺和空間能力與性別有關． 6分

（Ⅱ）設甲、乙解答一道幾何題的時間分別為分鐘，則基本事件滿足的區域為（如圖所示）

設事件為“乙比甲先做完此道題” 則滿足的區域為

由幾何概型

即乙比甲先解答完的概率為． 12分