Question

【題目】把正方形AA1B1B以邊AA1所在直線為軸旋轉900到正方形AA1C1C，其中D，E，F分別為B1A，C1C，BC的中點．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：B1F⊥平面AEF；
（3）求二面角A﹣EB1﹣F的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：設AB的中點為G，連接DG，CG

∵D是A1B的中點

∴DG∥A1A且DG=

∵E是C1C的中點

∴CE∥A1A且CE= ，

∴CE∥DG且CE=DG

∴CEDG是平行四邊形，

∴DE∥GC

∵DE平面ABC，GC平面ABC，

∴DE∥平面ABC

（2）解：∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且F是BC的中點

∴AF⊥BC

∵平面ABC⊥平面BCC1B1

∴AF⊥平面BCC1B1

∴AF⊥B1F

設AB=AA1=2，則在B1FE中， ，

則 ，B1E=3

∴

∴△B1FE是直角三角形，

∴B1F⊥EF

∵AF∩EF=F

∴B1F⊥平面AEF

（3）解：分別以AB，AC，AA1為x，y，z軸建立空間直角

坐標系A﹣xyz如圖，

設AB=AA1=2，則

設A（0，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0），D（1，0，1）

∵AF⊥平面BCC1B1，

∴面B1FE的法向量為 =（1，1，0），

設平面AB1E的法向量為 ，

∵ ，

∴ ， ，

∴2y+z=0，，x+z=0，

不妨設z=﹣2，可得

∴ =

∵二面角A﹣EB1﹣F是銳角，

∴二面角A﹣EB1﹣F的大小45°

【解析】（1）取AB的中點為G，連接DG，CG；根據條件可以得到CEDG是平行四邊形即可得到結論；（2）直接把問題轉化為證明AF⊥B1F以及B1F⊥EF；（3）先建立空間直角坐標系，求出兩個半平面的法向量，再代入向量的夾角計算公式即可．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．