Question

對于數列，定義“變換”：將數列變換成數列，其中，且，這種“變換”記作.繼續對數列進行“變換”，得到數列，…，依此類推，當得到的數列各項均為時變換結束．
（Ⅰ）試問和經過不斷的“變換”能否結束？若能，請依次寫出經過“變換”得到的各數列；若不能，說明理由；
（Ⅱ）求經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件；
（Ⅲ）證明：一定能經過有限次“變換”后結束．

Answer 1

（Ⅰ）解：數列不能結束，各數列依次為；；；；；；…．從而以下重復出現，不會出現所有項均為的情形．       ……2分
數列能結束，各數列依次為；；；．
……………3分
（Ⅱ）解：經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件是．……4分
若，則經過一次“變換”就得到數列，從而結束．……5分
當數列經過有限次“變換”后能夠結束時，先證命題“若數列為常數列，則為常數列”．
當時，數列．
由數列為常數列得，解得，從而數列也為常數列．
其它情形同理，得證．
在數列經過有限次“變換”后結束時，得到數列(常數列)，由以上命題，它變換之前的數列也為常數列，可知數列也為常數列．         ………8分
所以，數列經過有限次“變換”后能夠結束的充要條件是．
（Ⅲ）證明：先證明引理：“數列的最大項一定不大于數列的最大項，其中”．
證明：記數列中最大項為，則．
令，，其中．
因為， 所以，
故，證畢．                    ……………9分
現將數列分為兩類．
第一類是沒有為的項，或者為的項與最大項不相鄰（規定首項與末項相鄰），此時由引理可知，．     
第二類是含有為的項，且與最大項相鄰，此時．
下面證明第二類數列經過有限次“變換”，一定可以得到第一類數列．
不妨令數列的第一項為，第二項最大()．（其它情形同理）
①當數列中只有一項為時，
若()，則，此數列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數列；
若，則；此數列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數列；
若()，則，此數列各項均不為，為第一類數列；
若，則；；，
此數列各項均不為，為第一類數列．
②當數列中有兩項為時，若()，則，此數列各項均不為，為第一類數列；
若()，則，，此數列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數列．
③當數列中有三項為時，只能是，則，
，，此數列各項均不為，為第一類數列．
總之，第二類數列至多經過次“變換”，就會得到第一類數列，即至多連續經歷次“變換”，數列的最大項又開始減少．
又因為各數列的最大項是非負整數，
故經過有限次“變換”后，數列的最大項一定會為，此時數列的各項均為，從而結束．                ………………13分

略