Question

在直角坐標系上取兩個定點，再取兩個動點且．
（I）求直線與交點的軌跡的方程；
（II）已知，設直線：與（I）中的軌跡交于、兩點，直線、 的傾斜角分別為且，求證：直線過定點，并求該定點的坐標.

Answer 1

（I）；（II）定點為．

試題分析：（I）已知條件是，因此我們可以設直線與交點的坐標為，把與建立起聯系，利用已知得到交點的軌跡方程，而這個聯系就是直線與的方程；（II）要證明直線過定點，應該求出的關系，而已知的是直線、 的傾斜角且，說明它們的斜率之和為0，設直線與軌跡的交點為，則，，那么，變形得，這里，可由直線與軌跡的方程聯立，消去得關于的二次方程，由韋達定理得到，，代入上式可得到結論．
試題解析：（I）依題意知直線的方程為：　　①，
直線的方程為：　　②，
設是直線與的交點，①×②得，
由　整理得，
∵不與原點為重合，∴點不在軌跡M上，
∴軌跡M的方程為．
（II）由題意知，直線的斜率存在且不為零，
聯立方程，得，設、則，且，，
由已知，得，∴，
化簡得，
代入得，整理得．
∴直線的方程為，因此直線過定點，該定點的坐標為．