Question

【題目】已知，其對稱軸為，且．

（1）求的解析式；

（2）若對任意及任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由二次函數(shù)的對稱軸可得出的值，再由可求出實數(shù)的值，從而可得出函數(shù)的解析式；

（2）由題意知，對任意的及任意，不等式恒成立，可得出和均滿足不等式，由此可得出不等式組對任意的恒成立，利用參變量分離法得出，分別求出函數(shù)、在區(qū)間的最小值，可解出實數(shù)的取值范圍.

（1）二次函數(shù)的對稱軸為直線，得，

則，又，；

（2）由題意知，不等式對任意的及任意恒成立，構(gòu)造函數(shù)，

由題意可得對任意的恒成立，

所以對任意的恒成立，

對于函數(shù)，當(dāng)時，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以在區(qū)間上的最小值為，，得；

由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，，解得.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.