Question

【題目】雙曲線的方程是－y2＝1.

(1)直線l的傾斜角為，被雙曲線截得的弦長為，求直線l的方程；

(2)過點P(3,1)作直線l′，使其被雙曲線截得的弦恰被P點平分，求直線l′的方程．

Answer 1

【答案】（1）y＝x±5（2）3x－4y－5＝0

【解析】

（1）結合直線l的傾斜角，設出該直線方程，代入雙曲線方程，結合弦長公式，計算參數，即可。（2）分別設出交點坐標，結合點P為該2個交點的中點，建立方程，將交點坐標代入雙曲線方程，相減，計算直線斜率，計算方程，即可。

(1)設直線l的方程為y＝x＋m，代入雙曲線方程，得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0，

Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0，

∴m2>3.

設直線l與雙曲線交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，

則x1＋x2＝－m，x1x2＝.

由弦長公式|AB|＝|x1－x2|，得

,

∴＝，即m＝±5，滿足m2>3，

∴直線l的方程為y＝x±5.

(2)設直線l′與雙曲線交于A′(x3，y3)、B′(x4，y4)兩點，

點P(3,1)為A′B′的中點，則x3＋x4＝6，y3＋y4＝2.

由＝4，＝4，

兩式相減得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0，

∴＝，

∴l′的方程為y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.

把此方程代入雙曲線方程，整理得5y2－10y＋＝0，

滿足Δ>0，

即所求直線l′的方程為3x－4y－5＝0.