Question

【題目】已知函數(shù) .
（1） 時(shí)，證明： ；
（2）當(dāng) 時(shí)，直線 和曲線 切于點(diǎn) ，求實(shí)數(shù) 的值；
（3）當(dāng) 時(shí)，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）證明：記 ，
∵ ，
令 得 ，
當(dāng) ， ， 遞減；當(dāng) ， ， 遞增，
∴ ，
，
得
（2）解：切點(diǎn)為 ， ，則
，∴ ，
∵ ，∴ 由(1)得 .
所以 .
（3）解：由題意可得 恒成立，
所以 ，
下求 的最小值，
，
由(1) 知 且 .
所以 ， 遞減，
∵ ，∴ .
所以
【解析】（1）通過定義新函數(shù)將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；（2）由題意可知點(diǎn)A既在直線上也在曲線上，從而可以用m表示n與k，從而將問題轉(zhuǎn)化為解方程，而所列方程無一般解法，恰好利用（1）的結(jié)果即可解方程，進(jìn)而求得k的值；（3）求不等式中字母的取值范圍可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)G（x）的最小值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．