Question

【題目】已知圓M的圓心M在x軸上，半徑為1，直線 ，被圓M所截的弦長為 ，且圓心M在直線l的下方． （Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）設A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），若圓M是△ABC的內切圓，求△ABC的面積S的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設圓心M（a，0），由已知，得M到l：8x﹣6y﹣3=0的距離為 ，∴ ， 又∵M在l的下方，∴8a﹣3＞0，∴8a﹣3=5，a=1，故圓的方程為（x﹣1）2+y2=1．
（Ⅱ）設AC斜率為k1 ， BC斜率為k2 ， 則直線AC的方程為y=k1x+t，直線BC的方程為y=k2x+t+6．由方程組 ，得C點的橫坐標為 ，∵|AB|=t+6﹣t=6，∴ ，
由于圓M與AC相切，所以 ，∴ ；同理， ，
∴ ，
∴ ，
∵﹣5≤t≤﹣2，∴﹣2≤t+3≤1，
∴﹣8≤t2+6t+1≤﹣4，∴ ，
【解析】（I）設圓心M（a，0），利用M到l：8x﹣6y﹣3=0的距離，求出M坐標，然后求圓M的方程；（II）設A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），設AC斜率為k1 ， BC斜率為k2 ， 推出直線AC、直線BC的方程，求出△ABC的面積S的表達式，求出面積的最大值和最小值．