Question

【題目】已知函數，（，且）.

（1）當時，若對任意，恒成立，求實數的取值范圍；

（2）若，設 ，是的導函數，判斷的零點個數，并證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】分析：（1）由題意，求導，若k≤0，則g′（x）＞0，根據函數的單調性即可求得g（x）最大值，即可求得實數k的取值范圍；

（2）構造輔助函數，求導，根據函數的單調性及函數零點的判斷，即可求得f'（x）的零點個數．

詳解: （1）當時，對任意，恒成立，

令，求導，

由，則，

若，則，所以在上是增函數，所以，符合題意，

當時，令，解得，，

則在上是減函數，當時，，不符合題意，

綜上可知的取值范圍為.

（2）證明：由題意：，由此可得為一個零點，

令（），則，

的減區間為，單調增區間為，

其中，則，，，

當時，，

由零點存在定理及單調性可知在上存在唯一的零點，

取，則，令，知在上是減函數，

故當時，，即，

由零點存在定理及單調性可知在上存在唯一，，

由的單調遞減區間是，則在上僅存在唯一的零點，

綜上可知共有三個零點.