Question

【題目】動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比它到直線的距離小1，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作曲線的切線，且二者相交于點(diǎn).

（1）求曲線的方程；

（2）求證：；

（3）求 的面積的最小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)．(Ⅱ) 見(jiàn)解析；(Ⅲ)4．

【解析】

試題分析:（1）根據(jù)拋物線定義確定曲線的方程；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，解方程組可得交點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用向量數(shù)量積為零證明結(jié)論（3）三角形高為，根據(jù)拋物線定義求焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式得關(guān)于斜率函數(shù)關(guān)系式，最后解函數(shù)最值得結(jié)論

試題解析：(Ⅰ)解：由已知，動(dòng)點(diǎn)P在直線上方，條件可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(0，1)的距離等于它到直線距離

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F(0，1)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線

故其方程為．

(Ⅱ)證：設(shè)直線AB的方程為：

由得：

設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，則

由得：，∴

∴直線AM的方程為：�、�

直線BM的方程為：�、�

①－②得：，即

將代入①得：

∴

故∴

∴

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，點(diǎn)M到AB的距離

∵

∴

∴當(dāng)k = 0時(shí)，△ABM的面積有最小值4．