Question

【題目】已知圓，直線.

（1）求證：對(duì)，直線與圓總有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）設(shè)直線與圓交于點(diǎn)，若，直線的傾斜角；

（3）設(shè)直線與圓交于點(diǎn)，若定點(diǎn)滿足，求此時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）或；（3）或.

【解析】

（1）先求得直線過(guò)定點(diǎn)，利用該點(diǎn)在圓內(nèi)可得所證的結(jié)論.

（2）根據(jù)弦長(zhǎng)可得弦心距，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，兩者結(jié)合可求，從而可得直線的傾斜角.

（3）設(shè)，的中點(diǎn)為，，則可得，求出后利用圓心到直線的距離公式可求，從而得到所求的直線方程.

（1）由直線可得，故直線過(guò)定點(diǎn).

因?yàn)?/span>，故在圓內(nèi)，所以直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

（2）因?yàn)?/span>，故到直線的距離，

又圓心到直線的距離為，

所以，解得，故直線的斜率為，

所以其傾斜角為或.

（3）由（1）可得在圓內(nèi).

設(shè)，則，故.

設(shè)的中點(diǎn)為，則且.

設(shè)，因?yàn)?/span>，故，

解得，所以，所以，

故直線或.