Question

已知曲線C的參數方程為

x=sinα y=cosα

（α∈R，α為參數）．當極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，且極軸在x軸的正半軸上時，曲線D的極坐標力程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

a．
（I）試將曲線C的方程化為普通方程，曲線D的方程化為直角坐標方程；
（II）試確定實數a的取值范圍，使曲線C與曲線D有公共點．

Answer 1

分析：（I）先利用三角函數的同角公式展開曲線C的參數方程化成普通方程，再利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即可將曲線D的方程化為直角坐標方程．
（II）利用（1）中直角坐標方程，再利用圓心到直線的距離d≤r建立不等關系求出a的范圍即可．

解答：解：（I）∵曲線C的參數方程是 

x=sinα y=cosα

（θ是參數），
∴消去參數得：x²+y²=1；，
∴曲線D的極坐標方程可寫為ρsin（θ+

π

4

）=

2

a．
即：

2

2

ρsinθ+

2

2

ρcosθ=

2

a．
故直角坐標方程為：x+y-2a=0．
（II）利用圓心到直線的距離d≤r得

|2a|

2

≤1
解得：-

2

2

≤a≤

2

2

．
實數a的取值范圍：-

2

2

≤a≤

2

2

．

點評：本題考查點的極坐標及參數方程和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化．