Question

已知曲線C的參數方程為

x=2+cosθ y=1+sinθ

（θ∈[0，π]），且點P（x，y）在曲線C上，則

y+x-1

x

的取值范圍是（　　）

• A．[0，

  3

  3

  ]
• B．[1，1+

  3

  2

  ]
• C．[1，

  4

  3

  ]
• D．[1，

  3+ 3

  3

  ]

Answer 1

分析：由題意得曲線C是半圓，借助已知動點在單位圓上任意動，而所求式子

y+x-1

x

=1+

y-1

x

，

y-1

x

的形式可以聯想成在單位圓上動點P與點C（0，1）構成的直線的斜率，進而求解．

解答：解：∵

x=2+cosθ y=1+sinθ

即

x-2=cosθ y-1=sinθ

∴（x-2）²+（y-1）²=1，其中y∈[1，2]
由題意作出如下圖形，

y+x-1

x

=1+

y-1

x

，
令k=

y-1

x

，則k可看作圓（x-2）²+y²=1上的動點P到點C（0，1）的連線的斜率而相切時的斜率，
由于此時直線與圓相切，
在直角三角形ACB中，∠ACB=30°，⇒k=

3

3

由圖形知，k的取值范圍是[0，

3

3

]．
則

y+x-1

x

的取值范圍是[1，1+

3

3

]．
故選B．

點評：此題重點考查了已知兩點坐標寫斜率，及直線與圓的相切與相交的關系，還考查了利用幾何思想解決代數式子的等價轉化的思想．