Question

附加題：（選做題：在下面A、B、C、D四個小題中只能選做兩題）
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知AB、CD是圓O的兩條弦，且AB是線段CD的垂直平分線，
已知AB=6，CD=2

5

，求線段AC的長度．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值λ₁=1及對應的一個特征向量e1=

1 1

和特征值λ₂=2及對應的一個特征向量e2=

1 0

，試求矩陣A．
C．選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程是

y=sinθ+1 x=cosθ

（θ是參數），若以O為極點，x軸的正半軸為極軸，取與直角坐標系中相同的單位長度，建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程．
D．選修4-5：不等式選講
已知關于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1（a＞0）．
（1）當a=1時，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集為R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：A．連接BC，設AB，CD相交于點E，AE=x，由AB是線段CD的垂直平分線，知AB是圓的直徑，∠ACB=90°，則EB=6-x，CE=

5

．由射影定理得x（6-x）=5，由此能求出線段落AC的長度．
B．設矩陣A=

ab cd

，這里a，b，c，d∈R，因為

1 1

是矩陣A的屬于λ₁=1的特征向量，所以

1-a-b -c1-d

1 1

=

0 0

，因為

1 0

是矩陣A的屬于λ₂=2的特征向量，所以

2-a-b -c1-d

1 0

=

0 0

，由此能求出矩陣A．
C．由

y=sinθ+1 x=cosθ

得

y-1=sinθ x=cosθ

，兩式平方后相加得x²+（y-1）²=1，所以曲線C是以（0，1）為圓心，半徑等于1的圓．由此能求出曲線C的極坐標方程．
D．（1）當a=1時，得2|x-1|≥1，由此能求出不等式的解集．
（2）由|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|，知原不等式解集為R等價于|a-1|≥1．由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：A．（選修4-l：幾何證明選講）
連接BC設AB，CD相交于點E，AE=x，
∵AB是線段CD的垂直平分線，
∴AB是圓的直徑，∠ACB=90°（2分）
則EB=6-x，CE=

5

．由射影定理得CE²=AE•EB，
即有x（6-x）=5，解得x=1（舍）或x=5（8分）
∴AC²=AE•AB=5×6=30，即AC=

30

．（10分）

B．（選修4-2：矩陣與變換）
設矩陣A=

ab cd

，這里a，b，c，d∈R，
因為

1 1

是矩陣A的屬于λ₁=1的特征向量，
則有

1-a-b -c1-d

1 1

=

0 0

①，（4分）
又因為

1 0

是矩陣A的屬于λ₂=2的特征向量，
則有

2-a-b -c1-d

1 0

=

0 0

②，（6分）
根據①②，則有

1-a-b=0    -c+1-d=0    2-a=0    -c=0

（8分）
從而a=2，b=-1，c=0，d=1，
因此A=

2-1 01

，（10分）
C．（選修4-4：坐標系與參數方程）
由

y=sinθ+1 x=cosθ

得

y-1=sinθ x=cosθ

，
兩式平方后相加得x²+（y-1）²=1，（4分）
∴曲線C是以（0，1）為圓心，半徑等于1的圓
令x=ρcosθ，y=ρsinθ，
代入并整理得ρ=2sinθ．即曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ． （10分）
D．（選修4-5：不等式選講）
（1）當a=1時，得2|x-1|≥1，即|x-1|≥

1

2

，
解得x≥

3

2

或x≤

1

2

，
∴不等式的解集為(-∞，

1

2

]∪[

3

2

，+∞)．   （5分）
（2）∵|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|，
∴原不等式解集為R等價于|a-1|≥1．
∴a-1≥1，或a-1≤-1．
∴a≥2，或a≤0．
∵a＞0，∴a≥2．∴實數a的取值范圍為[2，+∞）．   （10分）

點評：A．本題考查線段長度的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意圓的性質的靈活運用．
B．本題考查矩陣與變換的應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意特征方程和特征值的合理運用．
C．本題考查參數方程和極坐標方程的應用，是基礎題．解題時要認真審題，注意把極坐標方程恰當地轉化為普通方程．
D．本題考查不等式的解法和求實數a的取值范圍．解題時要認真審題，仔細解答，注意含絕對值不等式性質的合理運用．