Question

【題目】某農場有一塊等腰直角三角形的空地，其中斜邊的長度為400米.為迎接“五一”觀光游，欲在邊界上選擇一點，修建觀賞小徑，其中分別在邊界上，小徑與邊界的夾角都為.區域和區域內種植郁金香，區域內種植月季花.

（1）探究：觀賞小徑與的長度之和是否為定值？請說明理由；

（2）為深度體驗觀賞，準備在月季花區域內修建小徑，當點在何處時，三條小徑的長度和最小？

Answer 1

【答案】（1）為定值，理由見解析；（2）是的中點.

【解析】

（1）根據題意可得，結合正弦定理可分別用表示出與，即可確定是否為定值；

（2）在中，由余弦定理可表示出，結合基本不等式即可得，根據（1）中為定值，即可知不等式取等號的條件，進而確定點的位置及三條小徑的長度和.

（1）為等腰直角三角形，小徑與邊界的夾角都為，

在中，所以，

故由正弦定理可得，

即.

同理.

故

為定值.

（2）在中，由余弦定理可得，

即，

所以，.

又由（1）有，

故，當且僅當時等號成立，

故當點的中點位置時，三條小徑的長度和最小為.