Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，側面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，PA＝PB，O為AB的中點，OD⊥PC.

(Ⅰ) 求證：OC⊥PD；

（II）若PD與平面PAB所成的角為30°，求二面角D－PC－B的余弦值.

Answer 1

【答案】(I)詳見解析(II)

【解析】

（Ⅰ）連結OP，推導出OP⊥AB，從而OP⊥平面ABCD，由OP⊥OD，OP⊥OC，得OD⊥OC，再由OP⊥OC，能證明OC⊥PD．

（Ⅱ）取CD的中點E，以O為原點，OE，OB，OP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系O－xyz.求出平面DPC與平面BPC的法向量，由此能求出二面角D﹣PC﹣B的余弦值．

(I)證明　如圖，連接OP.

∵PA＝PB，O為AB的中點，

∴OP⊥AB.

∵側面PAB⊥底面ABCD，

∴OP⊥平面ABCD，

∴OP⊥OD，OP⊥OC.

∵OD⊥PC，∴OD⊥平面OPC，

∴OD⊥OC，

又OP⊥OC，OP∩OD＝O，

∴OC⊥平面OPD，

∴OC⊥PD.

(II)解:法一　取CD的中點E，以O為原點，OE，OB，OP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系O－xyz.在矩形ABCD中，由(1)得OD⊥OC，∴AB＝2AD，不妨設AD＝1，則AB＝2.

∵側面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，

∴DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，△DPA≌△CPB，

∴∠DPA為直線PD與平面PAB所成的角，

∴∠DPA＝30°，∠CPB＝30°，PA＝PB＝，

∴B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(1，－1，0)，P(0，0，)，從而＝(1，1，－)，＝(0，－2，0).

設平面PCD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，

由得可取n1＝(，0，1).

同理，可取平面PCB的一個法向量為n2＝(0，－，－1).

于是cos〈n1，n2〉＝＝－，

∴二面角D－PC－B的余弦值為－.

法二　在矩形ABCD中，由(1)得OD⊥OC，∴AB＝2AD，不妨設AD＝1，則AB＝2.

∵側面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，

∴DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，△DPA≌△CPB，

∴∠DPA為直線PD與平面PAB所成的角，

∴∠DPA＝30°，∠CPB＝30°，PA＝PB＝，

∴DP＝CP＝2，

∴△PDC為等邊三角形.

設PC的中點為M，連接DM，則DM⊥PC.

在Rt△CBP中，過M作NM⊥PC，交PB于點N，連接ND，則∠DMN為二面角D－PC－B的一個平面角.

由于∠CPB＝30°，PM＝1，故在Rt△PMN中，MN＝，PN＝.

∵cos∠APB＝＝，

∴AN2＝＋3－2×××＝3，

∴ND2＝3＋1＝4，

∴cos∠DMN＝＝－，

即二面角D－PC－B的余弦值為－.