Question

【題目】已知橢圓： 的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長(zhǎng)為.

（1）求該橢圓的方程；

（2）若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于， 兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為弦的中點(diǎn)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由已知條件求出的值，得出橢圓的方程；（2）由“點(diǎn)差法”求出直線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式求出直線方程。

試題解析：（1）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣1，

∴a2﹣b2=1 ①，

又橢圓截拋物線的準(zhǔn)線x=﹣1所得弦長(zhǎng)為3，

∴可得上面的交點(diǎn)為（﹣1， ），∴ ②

由①代入②得4b4﹣9b2﹣9=0，解得b2=3或b2= （舍去），

從而a2=b2+1=4，∴該橢圓的方程為

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程可得，

3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，

相減可得3（x1﹣x2）（x1+x2）+4（y1﹣y2）（y1+y2）=0，

由x1+x2=2，y1+y2=1，可得直線AB的斜率為，

即直線AB的方程為 ，即為3x+2y﹣4=0．