Question

如圖，平面直角坐標系中，和為兩等腰直角三角形，，C(a,0)(a>0)．設和的外接圓圓心分別為,．

（Ⅰ）若⊙M與直線CD相切，求直線CD的方程；
（Ⅱ）若直線AB截⊙N所得弦長為4，求⊙N的標準方程；
（Ⅲ）是否存在這樣的⊙N，使得⊙N上有且只有三個點到直線AB的距離為，若存在，求此時⊙N的標準方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）存在．
由（Ⅱ）知，圓心N到直線AB距離為(定值)，且AB⊥CD始終成立，
∴當且僅當圓N半徑,即a=4時，⊙N上有且只有三個點到直線AB的距離為 ．       
此時， ⊙N的標準方程為． 

（Ⅰ）圓心．
∴圓方程為，
直線CD方程為．           
∵⊙M與直線CD相切,
∴圓心M到直線CD的距離d=,         
化簡得： （舍去負值）．
∴直線CD的方程為．          
（Ⅱ）直線AB方程為：，圓心N ．
∴圓心N到直線AB距離為．  
∵直線AB截⊙N的所得弦長為4，
∴．
∴a=±(舍去負值) ．                      
∴⊙N的標準方程為．   
（Ⅲ）存在．
由（Ⅱ）知，圓心N到直線AB距離為(定值)，且AB⊥CD始終成立，
∴當且僅當圓N半徑,即a=4時，⊙N上有且只有三個點到直線AB的距離為 ．       
此時， ⊙N的標準方程為．