Question

(本題滿分12分)已知點A（-2，0），B（2，0），動點P滿足：，且. （I）求動點P的軌跡G的方程；（II）過點B的直線與軌跡G交于兩點M，N.試問在x軸上是否存在定點C ,使得 為常數.若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ) x軸上存在定點C(1,0) ,使得 為常數

（Ⅰ）由余弦定理得：即16＝＝                           
＝，所以，即 （當動點P與兩定點A,B共線時也符合上述結論），所以動點P的軌跡為以A,B為焦點，實軸長為的雙曲線，所以，軌跡G的方程為 （Ⅱ）假設存在定點C(m,0),使為常數.①當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為
，題意知，，設，則，于是

∴
＝ 
＝


要是使得 為常數，當且僅當，此時
②當直線l與x軸垂直時，,當時.
故，在x軸上存在定點C(1,0) ,使得 為常數.