Question

已知橢圓的左、右焦點分別為，．過的直線交橢圓于兩點，過的直線交橢圓于兩點，且，垂足為．
（Ⅰ）設點的坐標為，證明：；
（Ⅱ）求四邊形的面積的最小值．
 
 
 
 
 
 
 

Answer 1

（Ⅰ）同解析；（Ⅱ）四邊形的面積的最小值為；

（Ⅰ）橢圓的半焦距，
由知點在以線段為直徑的圓上，故，
所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）當的斜率存在且時，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得．
設，，則
，
；
因為與相交于點，且的斜率為，
所以，．
四邊形的面積
．
當時，上式取等號．
（ⅱ）當的斜率或斜率不存在時，四邊形的面積．
綜上，四邊形的面積的最小值為．