Question

橢圓G：的兩個焦點F₁（－c，0）、F₂（c，0），M是橢圓上的一點，且滿足
（Ⅰ）求離心率e的取值范圍；
（Ⅱ）當離心率e取得最小值時，點N（0，3）到橢圓上的點的最遠距離為求此時橢圓G的方程；（ⅱ）設斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓G相交于不同的兩點A、B，Q為AB的中點，問A、B兩點能否關于過點的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由

Answer 1

（1）；（2）(i)所求橢圓方程為，（ⅱ）當時，A、B兩點關于點P、Q的直線對稱。

（I）設M（x₀，y₀）
                ①
又 ②
由②得代入①式整理得
又
解得

（Ⅱ）（i）當
設H（x，y）為橢圓上一點，則

若0
由（舍去）
若b≥3，當y=－3時，|HN|²有最大值2b²+18
由2b²+18=50得b²=16
∴所求橢圓方程為
（ii）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），則由
            ③
又直線PQ⊥直線l   ∴直線PQ方程為
將點Q（x₀，y₀）代入上式得，   ④
由③④得Q
（解1）而Q點必在橢圓內部  
由此得

故當時A、B兩點關于點P、Q的直線對稱
（解2）∴AB所在直線方程為
由得

顯然1+2k²≠0
而

直線l與橢圓有兩不同的交點A、B ∴△＞0
解得

故當時，A、B兩點關于點P、Q的直線對稱。
（ii）另解；設直線l的方程為y=kx+b
由得

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），則
     ③
又直線PQ⊥直線l   ∴直線PQ方程為
將點Q（x₀，y₀）代入上式得，   ④
將③代入④⑤
∵x₁，x₂是（*）的兩根
⑥
⑤代入⑥得
∴當時，A、B兩點關于點P、Q的直線對稱。