Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是側(cè)棱PA的中點(diǎn)．
（1）求證：PC∥平面BDE
（2）求三棱錐P﹣CED的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，

∵四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形，

∴O是AC中點(diǎn)，

∵E是側(cè)棱PA的中點(diǎn)，∴OE∥PC，

∵PC平面BDE，OE平面BDE，

∴PC∥平面BDE

（2）解：∵四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形，

側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是側(cè)棱PA的中點(diǎn)，

∴PA⊥CD，AD⊥CD，

∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，

∵S△PDE= = = ，

∴三棱錐P﹣CED的體積VP﹣CED=VC﹣PDE= = = ．

【解析】（1）連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，則OE∥PC，由此能證明PC∥平面BDE．（2）三棱錐P﹣CED的體積VP﹣CED=VC﹣PDE，由此能求出結(jié)果．