Question

【題目】設函數f′（x）是函數f（x）（x∈R）的導函數，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞ex ， 則使得f（x）＞xex+2ex成立的x的取值范圍是（ ）
A.（0，+∞）
B.（1，+∞）
C.（0，1）
D.（﹣∞，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：構造輔助函數g（x）=e﹣xf（x）﹣x，g′（x）=﹣e﹣xf（x）+f′（x）e﹣x﹣1=e﹣x[f′（x）﹣f（x）]﹣1，

由f′（x）﹣f（x）＞ex，g′（x）＞0恒成立．

∴g（x）在定義域上是單調遞增函數，

要使f（x）＞xex+2ex，即：e﹣xf（x）﹣x＞2，

只需將g（x）的最小值大于2，

∵g（0）=2，g（x）在定義域上是單調遞增函數；

故x＞0，即x的取值范圍是（0，+∞）．

故答案選：A

根據f′（x）﹣f（x）＞ex，構造g（x）=e﹣xf（x）﹣x，求導，求出函數的單調增函數，只需將求g（x）的最小值大于2，即可求得x的取值范圍．