Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為2，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點分別是橢圓的左右頂點，直線經過點且垂直與軸，點是橢圓上異于的任意一點，直線交于點.

①設直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；

②設過點垂直于的直線為 ，求證：直線過定點，并求出定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】試題分析：（1）根據條件列方程組，解得，（2）①設，則可由直線交點得，再根據斜率公式化簡，最后利用點P在橢圓上得定值；②先探求定點為，再根據點斜式寫出直線方程，最后令y=0解得x=-1.

試題解析：（1）由題意橢圓的焦距為2，且過點，

所以，解得，

所以橢圓的標準方程為.

（2）①設，則直線的方程為，

令得，因為，因為，

所以，因為在橢圓上，所以，

所以為定值，

②直線的斜率為，直線的斜率為，

則直線的方程為，

所以直線過定點.