Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形，DC=4，O為BD的中點(diǎn)，E為PA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求證：OE∥平面PDC；
（Ⅲ）求面PAD與面PBC所成角的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：設(shè)F為DC的中點(diǎn)，連接BF，則DF=AB
∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，
∴四邊形ABFD為正方形，
∵O為BD的中點(diǎn)，
∴O為AF，BD的交點(diǎn)，
∵PD=PB=2，
∴PO⊥BD，
∵ = ，
∴ = ， ，
在三角形PAO中，PO2+AO2=PA2=4，∴PO⊥AO，
∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以O(shè)P為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由已知得：A（﹣1，﹣1，0），B（﹣1，1，0），D（1，﹣1，0）F（1，1，0），C（1，3，0）， ， ，
則 ， ， ， ．
∴
∴OE∥PF
∵OE平面PDC，PF平面PDC，
∴OE∥平面PDC；
（Ⅲ）解：設(shè)平面PAD的法向量為 ，
則 ，即 ，
解得 ，
設(shè)平面PBC的法向量為
同理可得
則 ，∴面PAD與面PBC所成角的大小為

【解析】（Ⅰ）由條件先證明四邊形ABFD為正方形，由等腰三角形的性質(zhì)證明PO⊥BD，由勾股定理求得PO⊥AO，從而證得PO⊥平面ABCD．（Ⅱ）過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以O(shè)P為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出 可得 OE∥PF，從而證得OE∥平面PDC． （Ⅲ）求出平面PAD的法向量、平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式即可求面PAD與面PBC所成角的大小．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對直線與平面垂直的判定的理解，了解一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．