Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asinAcosC+csinAcosA= c，D是AC的中點，且cosB= ，BD= ．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC的最短邊的邊長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵cosB= ，

∴sinB= ，

又∵asinAcosC+csinAcosA= c，

∴正弦定理化簡可得：sinAcosCsinA+sinAsinCcosA= sinC．

即sinA（cosCsinA+sinCcosA）= sinC

∴sinAsinB= sinC，

∵A+B+C=π，

∴C=π﹣（A+B）

∴sinAsinB= sin（A+B）

sinA= sinAcosB+ cosAsinB，

∴sinA=cosA．

即tanA=1，

∵0＜A＜π，

∴A= ．

（2）D是AC的中點，且cosB= ，BD= ，

根據余弦定理得c2+ b2﹣ bc=26

∵ sinA= sinC，且sinB× = sinC

∴

解得：a=2 ．

b=2 ，

c=6

∴△ABC的最短邊的邊長2 ．

【解析】（1）利用正弦定理化簡并根據和與差的公式即可求出角A的值。（2）根據余弦定理建立關系求解出a、b、c的值即可得到△ABC的最短邊的邊長。