Question

【題目】已知函數，.

（1）求函數的單調區間；

（2）討論函數的零點的個數.

Answer 1

【答案】（1）在上是減函數，在上是增函數；（2）見解析

【解析】

（1）先求得函數的定義域，然后利用導數求得函數的單調區間.

（2）先由得，判斷且后分離常數得到，構造函數（且），利用導數研究函數的單調區間，畫出的大致圖像，結合圖像討論得函數的零點的個數.

（1）的定義域為

∵在上是增函數，且

∴是 ，時

∴ 在上是減函數，在上是增函數

（2）由得

不是該方程的解 ∴且

∴

令 （且）

則

令

則在上是增函數

又

∴時

時，

∴在，是減函數，在上是增函數，

又，時，

時，

時，

時 ，

∴的大致圖象如圖所示

∴時有一個零點，

時無零點，

時有一個零點，

時有兩個零點，

綜上：時有兩個零點，

或時有一個零點，

時無零點，