Question

【題目】求最小的正整數，使得當正整數點時，在前個正整數構成的集合中，對任意總存在另一個數且，滿足為平方數．

Answer 1

【答案】7

【解析】

易知當時，在中，數2與其他任何數之和皆不是平方數；

以下證明，的最小值為7．

如果正整數、滿足：平方數，就稱是一個“平方對”，

顯然在中，，，，為平方對．

在中增加了平方對；

在中平加了平方對．

以下采用歸納法，稱滿足題中條件的為具有性質；簡記為．

據以上知，當時，均有．

設已證得，當時，皆有，今考慮情況，利用歸納假設，只需證，當，其中時，均有．

首先，在，即時，構成平方對，

這是由于，

而由，知，即．

在時，構成平方對，

這是由于，

而，所以．

因此對于滿足的每個，皆有，

從而對所有滿足的正整數，皆有，

即對一切正整數，均有．所以的最小值為7．