Question

【題目】已知橢圓:的左右焦點分別是，拋物線與橢圓有相同的焦點，點為拋物線與橢圓在第一象限的交點，且滿足.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作直線與橢圓交于兩點，設.若，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由題意可得點P的坐標為，然后求出，根據橢圓的定義可得，進而得到，于是可得橢圓的方程．（2）由題意直線的斜率不為0，設其方程為，代入橢圓方程后結合根與系數的關系得到，然后通過換元法求出的范圍即可．

（1）由題意得拋物線的焦點坐標為，準線方程為．

∵，

∴點P到直線的距離為，從而點P的橫坐標為，

又點P在第一象限內，

∴點P的坐標為．

∴，

∴，

∴．

∴，

∴橢圓的方程為．

（2）根據題意得直線的斜率不為0，設其方程為，

由 消去整理得，

顯然．

設，則 ①

∵，即，

∴，

代入①消去得．

∵，

∴，

∴，解得．

由題意得．

令，則，

∴，

設，則在上單調遞增，

∴，即，

∴．

即面積的取值范圍為．