Question

已知函數f(x)=ln(x+1)+ax²-x，a∈R．
（1）當時，求函數y=f(x)的極值；
（2）是否存在實數b∈(0,1)，使得當x∈(-1,b]時，函數f(x)的最大值為f(b)？若存在，求實數a的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）在x=1處取到極小值為，在x=0處取到極大值為0；（2）．

試題分析：（1）將代入函數f(x)解析式，求出函數f(x)的導函數，令導函數等于零，求出其根；然后列出x的取值范圍與的符號及f(x)的單調性情況表，從表就可得到函數f(x）的極值；（2）由題意首先求得：，故應按分類討論：當a≤0時，易知函數f(x)在(-1,0)上單調遞增，在(0,+∞)上單調遞減,從而當b∈(0,1)時f(b)<f(0)，所以不存在實數b∈(0,1)，符合題意；當a>0時，令有x=0或，又要按根大于零，小于零和等于零分類討論；對各種情況求函數f(x）x∈(-1,b]的最大值，使其最大值恰為f(b)，分別求得a的取值范圍，然而將所得范圍求并即得所求的范圍；若求得的a的取值范圍為空則不存在，否則存在．
試題解析：（1）當時，，
則，化簡得（x>-1）     2分   
列表如下：

x	(-1,0)	0	(0,1)	1	(1,+)
	+	0	-	0	+
f(x)	增	極大值	減	極小值	增

 
∴函數f(x)在(-1,0)，(1,+∞)上單調遞增，在(0,1)上單調遞減，且f(0)=0，， 4分
∴函數y=f(x)在x=1處取到極小值為，
在x=0處取到極大值為0；      5分
（2）由題意
（1）當a≤0時，函數f(x)在(-1,0)上單調遞增，在(0,+∞)上單調遞減,
此時，不存在實數b∈(0,1)，使得當x∈(-1,b]時，函數f(x)的最大值為f(b)；      7分
（2）當a>0時，令有x=0或，
(ⅰ)當即時，函數f(x)在和(0,+∞)上單調遞增，在上單調遞減，要存在實數b∈(0,1)，使得當x∈(-1,b]時，函數f(x)的最大值為f(b)，則，代入化簡得 （1）
令，因恒成立，
故恒有，∴時，（1）式恒成立；    10分
（ⅱ）當即時，函數f(x)在和上單調遞增，在上單調遞減，此時由題，只需，解得，又，
∴此時實數a的取值范圍是；      12分
（ⅲ）當時，函數f(x)在上單調遞增，
顯然符合題意；      13分
綜上，實數a的取值范圍是．           14分