Question

數列{a_n}是公差為d的等差數列，函數f（x）=（x-a₁）（x-a₂）（x-a₃）（x-a₄），則f′（a₁）+f′（a₂）+f′（a₃）+f′（a₄）=______．

Answer 1

因為f（x）=（x-a₁）（x-a₂）（x-a₃）（x-a₄），
所以f'（x）=[（x-a₂）（x-a₃）（x-a₄）]+（x-a₁）+[（x-a₂）（x-a₃）（x-a₄）]'，
所以f′（a₁）=（a₁-a₂）（a₁-a₃）（a₁-a₄）．
因為數列{a_n}是公差為d的等差數列，所以f′（a₁）=（a₁-a₂）（a₁-a₃）（a₁-a₄）=（-d）（-2d）（-3d）=-6d³．
同理f′（a₂）=（a₂-a₁）（a₂-a₃）（a₂-a₄）=2d³．
f′（a₃）=（a₃-a₂）（a₃-a₁）（a₃-a₄）=-2d³．
f′（a₄）=（a₄-a₂）（a₄-a₃）（a₄-a₁）=6d³．
所以f′（a₁）+f′（a₂）+f′（a₃）+f′（a₄）=-6d³+2d³-2d³+6d³=0．
故答案為：0