Question

【題目】設正項數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足 ．
（1）計算a1 ， a2 ， a3的值，并猜想{an}的通項公式；
（2）用數學歸納法證明{an}的通項公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時， ，

得a1=1； ，得a2=2，

，得a3=3，

猜想an=n

（2）解：證明：（ⅰ）當n=1時，顯然成立，

（ⅱ）假設當n=k時，ak=k，

則當n=k+1時， = ，

整理得： ，即[ak+1﹣（k+1）][ak+1+（k﹣1）]=0，

結合an＞0，解得ak+1=k+1，

于是對于一切的自然數n∈N*，都有an=n

【解析】（1）利用遞推關系式求解數列a1 ， a2 ， a3的值，猜想{an}的通項公式；（2）利用數學歸納法的證明步驟，逐步證明即可．
【考點精析】利用數列的通項公式和數學歸納法的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法．