Question

【題目】已知點是橢圓上一點， 分別為的左、右焦點， ， ， 的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線與橢圓相交于兩點，點，記直線的斜率分別為，當最大時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 直線的方程為.

【解析】試題分析：（1）根據三角形面積公式得到，即，

再結合余弦定理和橢圓的定義得到a,b，c的值即可.(2) 設， ，用點坐標表示斜率，得到的表達式，再求函數值域即可.

（1）易知，由，

，由余弦定理及橢圓定義有：

，又，∴，從而.

（2）①當直線的斜率為0時，則；

②當直線的斜率不為0時，設， ，直線的方程為，

將代入，整理得，

則， ，又， ，

所以，

，

令，則，

當即時， ；

當時， ，

∴或.

當且僅當，即時， 取得最大值.

由①②得直線的方程為.