Question

【題目】某校舉行運動會，其中三級跳遠的成績在8.0米（四舍五入，精確到0.1米）以上的進入決賽，把所得數據進行整理后，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分（如圖），已知從左到右前5個小組的頻率分別為0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小組的頻數是7．
（Ⅰ）求進入決賽的人數；
（Ⅱ）若從該校學生（人數很多）中隨機抽取兩名，記X表示兩人中進入決賽的人數，求X的分布列及數學期望；
（Ⅲ）經過多次測試后發現，甲成績均勻分布在8～10米之間，乙成績均勻分布在9.5～10.5米之間，現甲，乙各跳一次，求甲比乙遠的概率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）第6小組的頻率為1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14， ∴總人數為 （人）．
∴第4、5、6組成績均進入決賽，人數為（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）
即進入決賽的人數為36
（Ⅱ）由題意知X的可能取值為0，1，2，進入決賽的概率為 ，
∴X～ ， ，
P（X=1）= ，

∴所求分布列為：

X	0	1	2
P

，兩人中進入決賽的人數的數學期望為
（Ⅲ）設甲、乙各跳一次的成績分別為x、y米，
則基本事件滿足的區域為： ，
事件A“甲比乙遠的概率”滿足的區域為x＞y，如圖所示
∴由幾何概型P（A）= = ．
即甲比乙遠的概率為

【解析】（Ⅰ）由頻率分直方圖求出第6小組的頻率，從而求出總人數，進而得到第4、5、6組成績均進入決賽，由此能求出進入決賽的人數．（Ⅱ）由題意知X的可能取值為0，1，2，進入決賽的概率為 ，從而X～ ，由此能求出X的分布列及數學期望．（Ⅲ）設甲、乙各跳一次的成績分別為x、y米，則基本事件滿足的區域為： ，由此利用幾何概型能求出甲比乙遠的概率．