【題目】如圖，已知點
，
，拋物線
的焦點
為線段
中點.
（1）求拋物線
的方程；
（2）過點
的直線交拋物線于
兩點，
，過點
作拋物線的切線
，
為切線上的點，且
軸，求
面積的最小值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
1
由已知得焦點
，所以
，從而求出拋物線C的方程；2設
，
，
，設直線l方程為：
，與拋物線方程聯立，利用
求得
，所以直線l的方程為：
，由
，求得點M的坐標，進而求出點N的坐標，所以
設直線AB的方程為：
，與拋物線方程聯立，設直線l方程為：，利用韋達定理代入
，利用基本不等式即可求出
面積的最小值．
（1）由已知得焦點
的坐標為
，
，
拋物線
的方程為：；
（2）設直線
的方程為：，設，，，
聯立方程
，消去
得：
，
，
，
，
設直線
方程為：，
聯立方程
，消去得：
，
由相切得：
，
，
又
，
，
，
，
直線的方程為：，
由，得
，
，
將代入直線方程，解得
，
所以
，
又
，
所以
，當且僅當
時，取到等號，
所以面積的最小值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為坐標原點，橢圓
的右焦點為
，過的直線
與
相交于
兩點，點
滿足
.
（1）當的傾斜角為
時，求直線
的方程；
（2）試探究在
軸上是否存在定點
，使得
為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某同學使用某品牌暖水瓶，其內膽規格如圖所示．若水瓶內膽壁厚不計，且內膽如圖分為①②③④四個部分，它們分別為一個半球、一個大圓柱、一個圓臺和一個小圓柱體．若其中圓臺部分的體積為
，且水瓶灌滿水后蓋上瓶塞時水溢出
．記蓋上瓶塞后，水瓶的最大盛水量為
，
（1）求；
（2）該同學發現：該品牌暖水瓶盛不同體積的熱水時，保溫效果不同．為了研究保溫效果最好時暖水瓶的盛水體積，做以下實驗：把盛有最大盛水量的水的暖水瓶倒出不同體積的水，并記錄水瓶內不同體積水在不同時刻的水溫，發現水溫
（單位：℃）與時刻
滿足線性回歸方程
，通過計算得到下表：
倒出體積 | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 |
擬合結果 |
|
|
|
|
|
倒出體積 | 150 | 180 | 210 | … | 450 |
擬合結果 |
|
|
| … |
|
注：表中倒出體積
（單位：
）是指從最大盛水量中倒出的那部分水的體積．其中：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
令
．對于數據
，可求得回歸直線為
，對于數據
，可求得回歸直線為
．
（ⅰ）指出
的實際意義，并求出回歸直線
的方程（參考數據：
）；
（ⅱ）若與
的交點橫坐標即為最佳倒出體積，請問保溫瓶約盛多少體積水時（盛水體積保留整數，且
取3.14）保溫效果最佳？
附：對于一組數據
，其回歸直線
中的斜率和截距的最小二乘估計分別為
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在
中，
，
.已知
分別是
的中點.將
沿
折起，使
到
的位置且二面角
的大小是60°，連接
，如圖：
（1）證明：平面
平面
（2）求平面
與平面
所成二面角的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C： 
（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， 
），P4（1， 
）中恰有三點在橢圓C上.
（1）求C的方程；
（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學從甲乙兩個教師所教班級的學生中隨機抽取100人，每人分別對兩個教師進行評分，滿分均為100分，整理評分數據，將分數以10為組距分成6組：
，
，
，
，
，
.得到甲教師的頻率分布直方圖，和乙教師的頻數分布表：
乙教師分數頻數分布表 | |
分數區間 | 頻數 |
| 3 |
| 3 |
| 15 |
| 19 |
| 35 |
| 25 |
（1）在抽樣的100人中，求對甲教師的評分低于70分的人數；
（2）從對乙教師的評分在
范圍內的人中隨機選出2人，求2人評分均在范圍內的概率；
（3）如果該校以學生對老師評分的平均數是否大于80分作為衡量一個教師是否可評為該年度該校優秀教師的標準，則甲、乙兩個教師中哪一個可評為年度該校優秀教師？（精確到0.1）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在頂角為
圓錐內有一截面，在圓錐內放半徑分別為
的兩個球與圓錐的側面、截面相切，兩個球分別與截面相切于
，則截面所表示的橢圓的離心率為( )
（注：在截口曲線上任取一點
，過作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點
，由相切的幾何性質可知，
，
，于是
，為橢圓的幾何意義）
A.
B.
C.
D.
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