Question

【題目】在中，，.已知分別是的中點.將沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，連接，如圖：

（1）證明：平面平面

（2）求平面與平面所成二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）45°

【解析】

（1）設的中點為，連接，設的中點為，連接，，從而即為二面角的平面角，，推導出，從而平面，則，即，進而平面，推導四邊形為平行四邊形，從而，平面，由此即可得證.

（2）以B為原點，在平面中過B作BE的垂線為x軸，BE為y軸，BA為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求出平面與平面所成二面角的大小.

（1）∵是的中點，∴.

設的中點為，連接.

設的中點為，連接，.

易證：，，

∴即為二面角的平面角.

∴，而為的中點.

易知，∴為等邊三角形，∴.①

∵，，，∴平面.

而，∴平面，∴，即.②

由①②，，∴平面.

∵分別為的中點.

∴四邊形為平行四邊形.

∴，平面，又平面.

∴平面平面.

（2）如圖，建立空間直角坐標系，設.

則，，，，

顯然平面的法向量，

設平面的法向量為，，，

∴，∴.

，

由圖形觀察可知，平面與平面所成的二面角的平面角為銳角.

∴平面與平面所成的二面角大小為45°.