Question

【題目】已知函數 ()在定義域內僅有唯一零點．

（1）若對，不等式恒成立，求實數的最大值；

（2）設函數，對于， ，且，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）直接求導即可得到函數的增減性，只有一個零點，說明其極值為零，即可得到答案；

（2）通過對不等式的變形化簡，得到的形式，此時自然運用換元法得到一個新的不等式，再利用導數來對其進行證明即可。

試題解析：

（1）由（），得．

令，解得．

顯然，即在的定義域內，

于是當時， ；當時， ，

所以在區間上遞增，在區間上遞減，則．

因為在定義域內僅有唯一零點，所以，即，

從而．

于是不等式恒成立，即恒成立．

①當時，取，得，而，所以不恒成立，即不滿足條件；

②當時，令，則，

令，得， ．　

（i）若，即時，當時， ，則在上遞增，

從而恒有，即在上恒成立，即滿足條件．

（ii）若，即時，當， ，則遞減，

于是當時， ，即在不恒成立，即不滿足條件．

綜上得，即．

（2）由，得，不妨令，

欲證 ，

只需證，

即證，

只需證，

只需證，

即證，

即證.

令（），則只需證，即．

令，則，

于是在上遞增，從而，

即，即，所以原不等式成立．