Question

【題目】已知函數f（x）=lnx，g（x）=x2 ． （Ⅰ）求函數h（x）=f（x）﹣x+1的最大值；
（Ⅱ）對于任意x1 ， x2∈（0，+∞），且x1＜x2 ， 是否存在實數m，使mg（x1）﹣mg（x2）﹣x2f（x2）+x1f（x1）恒為正數？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數h（x）的定義域為（0，+∞）， ∵h（x）=lnx﹣x+1，∴h′（x）= ﹣1= ，
當x∈（0，1）時，h′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0．
∴h（x）在（0，1）上是單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
∴h（x）max=h（1）=0，即函數的最大值為0．
（Ⅱ）若mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）＞0恒成立，只需mg（x2）+x2f（x2）＞mg（x1）+x1f（x1），
設φ（x）=mg（x）+xf（x）=mx2+xlnx，
又0＜x1＜x2 ， 則只需φ（x）在（0，+∞）上單調遞減．
∴φ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得2m≤ ，
設t（x）= ，則t′（x）= ，知函數t（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，即t（x）min=t（1）=﹣1．
∴存在實數m≤﹣ ，使mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）恒為正數
【解析】（Ⅰ）求出函數的定義域、導數h′（x），由導數的符號可知函數單調性，根據單調性即可得到最大值；（Ⅱ）mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）＞0恒成立，只需mg（x2）+x2f（x2）＞mg（x1）+x1f（x1），設φ（x）=mg（x）+xf（x）=mx2+xlnx，又0＜x1＜x2 ， 則只需φ（x）在（0，+∞）上單調遞減．從而有φ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上恒成立，分離出參數m后化為函數最值即可，利用導數可求得函數的最值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．