Question

【題目】已知函數（，且）．

（1）求函數的單調區間；

（2）若存在，使得（是自然對數的底數），求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數的單調增區間為，單調減區間為；（2）．

【解析】

試題分析：（1）先對求導,對分情況討論,都得到在上是增函數, ，∴的解集為，的解集為，得出函數的單調區間；（2）由已知條件得出,轉化成求函數的最值,分類討論得出結果．

試題解析：解：（1）

∵當時，，在上是增函數，

當時，，在上也是增函數，

∴當或時，總有在上是增函數，

又，∴的解集為，的解集為，

故函數的單調增區間為，單調減區間為．

（2）∵存在，使得成立，

而當時，，

∴只要即可．

又∵，，的變化情況如下表所示：

		0
		0
	減函數	極小值	增函數

∴函數在上是減函數，在上是增函數，

∴當時，的最小值，

的最大值為和中的最大者．

∵，

令，

∵，∴在上是增函數．

而，故當時，，即；

當時，，即．

∴當時， ，即，

函數在上是增函數，解得；

當時，，即，

函數在上是減函數，解得．

綜上所述，所求的取值范圍為．