Question

【題目】已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若任意的a、b∈[-1，1]，當a+b≠0時，總有．

（1）判斷函數f（x）在[-1，1]上的單調性，并證明你的結論；

（2）解不等式：；

（3）若f（x）≤m2-2pm+1對所有的x∈[-1，1]恒成立，其中p∈[-1，1]（p是常數），試用常數p表示實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在上是增函數，證明如下：

任取，且，則，于是有，而，故，故在上是增函數

（2）．

（3）由（1）知最大值為，所以要使對所有的恒成立，只需成立，即成立．

①當時，的取值范圍為；

②當時，的取值范圍為；

③當時，的取值范圍為R．

【解析】

（1）在上是增函數，證明如下：

任取，且，則，于是有，而，故，故在上是增函數

（2）由在上是增函數知：

，

故不等式的解集為．

（3）由（1）知最大值為，所以要使對所有的恒成立，只需成立，即成立．

①當時，的取值范圍為；

②當時，的取值范圍為；

③當時，的取值范圍為R．