Question

【題目】已知圓M過(guò)A（-4，0），B（1，5），C（6，0）三點(diǎn)．

（Ⅰ）求圓M的方程

（Ⅱ）若直線ax-y+5=0（a＞0）與圓M相交于P，Q兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得弦PQ的垂直平分線l過(guò)點(diǎn)E（-2，4），若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）x2+y2-2x-24=0；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）設(shè)出圓的一般方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程組求解；

（Ⅱ）假設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，由a＞0，可得直線l的斜率，進(jìn)一步得到直線l的方程，根據(jù)直線l垂直平分弦PQ，得到圓心M必然在直線l上，把M的坐標(biāo)代入直線l方程中，得到關(guān)于a的方程，可得a，把求出的a的值代入確定出直線l的方程，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)直線ax-y+5=0與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故存在．

解：（Ⅰ）設(shè)圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，

則，解得D=-2，E=0，F=-24．

∴圓M的方程為x2+y2-2x-24=0；

（Ⅱ）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，

∵a＞0，則直線l的斜率為-，l的方程為y=-（x+2）+4，即x+ay+2-4a=0．

由于l垂直平分弦PQ，故圓心M（1，0）必在l上．

∴1+0+2-4a=0，解得a=．

經(jīng)檢驗(yàn)a=時(shí)，直線ax-y+5=0與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

故存在實(shí)數(shù)a=，使得弦PQ的垂直平分線l過(guò)點(diǎn)E（-2，4）．