Question

【題目】如圖，已知橢圓 （a＞b＞0）的左右頂點分別是A（﹣ ，0），B（ ，0），離心率為 ．設點P（a，t）（t≠0），連接PA交橢圓于點C，坐標原點是O．

（Ⅰ）證明：OP⊥BC；
（Ⅱ）若三角形ABC的面積不大于四邊形OBPC的面積，求|t|的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知：a= ，e= = = ，則b=1，
∴橢圓的標準方程： ，
設直線PA的方程y= （x+ ），
則 ，
整理得：（4+t2）x2+2 t2x+2t2﹣8=0，
解得：x1=﹣ ，x2= ，則C點坐標（ ， ），
故直線BC的斜率kBC=﹣ ，直線OP的斜率kOP= ，
∴kBCkOP=﹣1，
∴OP⊥BC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：四邊形OBPC的面積S1= ×丨OP丨×丨BC丨= ，
則三角形ABC，S2= ×2 × = ，
由 ≤ ，整理得：t2+2≥4，則丨t丨≥ ，
∴丨t丨min= ，
|t|的最小值 ．
【解析】（Ⅰ）由a= ，橢圓的離心率e= = ，求得b，求得橢圓的標準方程，求得直線PA的方程，求得C點坐標，直線BC的斜率kBC=﹣ ，直線OP的斜率kBC= ，則kBCkBC=﹣1，則OP⊥BC；（Ⅱ）分別求得三角形ABC的面積和四邊形OBPC的面積，由題意即可求得|t|的最小值．