Question

(本小題12分)
已知函數
(1)判斷函數在上的單調性;
(2)是否存在實數,使曲線在點處的切線與軸垂直?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1)見解析；(2) 不存在

(1)先求出，然后再分和三種情況研究其在區間上的單調性.
(2)本小題所給條件曲線在點處的切線與軸垂直實質是研究方程有實數解.然后利用導數研其單調性和最值，畫出圖像從圖像上可分析判斷是否有實數解.
解;
①若則,在上單調遞增
②若,當時,函數在區間上單調遞減,
當時,函數在區間上單調遞增
③若,則函數在區間上單調遞減.
(2),由(1)易知,當時,在上的最小值:
即時,又,
曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數解.
而,即方程無實數解,故不存在.