Question

【題目】已知命題：直線與圓有兩個交點；命題： .

（1）若為真命題，求實數的取值范圍；

（2）若為真命題， 為假命題，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：先求出分別為真命題時的取值范圍：對命題，利用圓心到直線的距離小于半徑，求得.對命題，利用三角恒等變形公式，將原不等式左邊轉化為，求得其值域為，故.（1）且真，取與的交集，得；（2）由于“為真命題， 為假命題”所以分別求“真假”和“假真”時的取值范圍，然后取并集即可.

試題解析：

∵，∴，

所以該圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離．

若為真，則圓心到直線的距離小于半徑，即，解得．

若為真，則在上有解，

因為

，又由，得，

所以，

即，故若為真，則．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（1）若為真，則應滿足，即，

故實數的取值范圍為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（2）若為真命題， 為假命題，則一真一假，

若真假，則應滿足，

若假真，則應滿足

綜上所述，實數的取值范圍為．．．．．．．．．．．．．．12分