Question

【題目】設函數f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R．

（I）若x=e是y=f（x）的極值點，求實數a的值；

（Ⅱ）若函數y=f（x）﹣4e2只有一個零點，求實數a的取值范圍 .

Answer 1

【答案】（1）a=e或a=3e．（2）（－∞，3e）.

【解析】

試題解析：（Ⅰ）函數f（x）=（x﹣a）2 lnx，a∈R．

∴ f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），

由x=e是f（x）的極值點，所以f′（e）=0

解得a=e或a=3e．

經檢驗，a=e或a=3e符合題意，所以a=e或a=3e；

（Ⅱ）由已知得方程f（x）=4e2只有一個根，

即曲線f（x）與直線y=4e2只有一個公共點．

易知f（x）∈（﹣∞，+∞），設，

①當a≤0時，易知函數f（x）在（0，+∞）上是單調遞增的，滿足題意；

②當0＜a≤1時，易知h（x）是單調遞增的，又h（a）=2lna＜0，h（1）=1﹣a≥0，

∴x0∈（a，1），h（x0）=0，

當0＜x＜a時，f′（x）=（x﹣a）（2lnx+1﹣）>o

∴f（x）在（0，a）上是單調遞增，

同理f（x）在（a，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增，

又極大值f（a）=0，所以曲線f（x） 滿足題意；

③當a＞1時，h（1）=1﹣a＜0，h（a）=2lna＞0，

∴x0∈（1，a），h（x0）=0，即，得a﹣x0=2x0lnx0，

可得f（x）在（0，x0）上單調增，在（x0，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增

又f（a）=0，若要函數f（x）滿足題意，只需f（x0）<4e2，即（x0-a）2lnx0<4e2

∴x02ln3x0<e2, 由x0>1，知g（x）=x2ln3x>0,且在[1, ＋∞）上單調遞增，

由g（e）=e2，得1＜x0＜e，因為a=x0+2x0lnx0在[1，+∞）上單調遞增，

所以1＜a＜3e；

綜上知，a∈（－∞，3e）