Question

【題目】如圖，已知橢圓，點B是其下頂點，過點B的直線交橢圓C于另一點A（A點在軸下方），且線段AB的中點E在直線上.

（1）求直線AB的方程；

（2）若點P為橢圓C上異于A、B的動點，且直線AP,BP分別交直線于點M、N，證明：OM·ON為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】試題分析：（1）兩點確定一條直線，所以只需再確定A點坐標即可，這可利用A在橢圓上及AB中點在直線上聯立方程組解得：A（，），從而根據兩點式求出直線AB的方程為．

（2）本題涉及的條件為坐標，所以用分別表示M點、N點坐標就是解題方法：由A，P，M三點共線，又點M在直線y=x上，解得M點的橫坐標，由B，P，N三點共線，點N在直線y=x上，，解得N點的橫坐標．所以OM·ON==＝2

=，又，所以OM·ON====．

試題解析：解：（1）設點E（m，m），由B（0，－2）得A（2m，2m+2）．

代入橢圓方程得，即，

解得或（舍）． 3分

所以A（，），

故直線AB的方程為． 6分

（2）設，則，即．

設,由A，P，M三點共線，即，

∴，

又點M在直線y=x上，解得M點的橫坐標， 9分

設，由B，P，N三點共線，即，

∴，

點N在直線y=x上，，解得N點的橫坐標． 12分

所以OM·ON==＝2

====． 16分