Question

【題目】定義為n個正數的“均倒數”．已知正項數列{an}的前n項的“均倒數”為．

（1）求數列{an}的通項公式．

（2）設數列的前n項和為，若4<對一切恒成立試求實數m的取值范圍．

(3)令，問：是否存在正整數k使得對一切恒成立，如存在求出k值，否則說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在正整數k=10使得對一切恒成立．

【解析】

(1)由題意首先確定數列的前n項和，然后利用前n項和與通項公式的關系求解數列的通項公式即可；

(2)首先裂項求和求得，然后結合前n項和的范圍得到關于m的不等式，求解不等式即可確定實數m的取值范圍；

(3)解法一：計算的值，確定取得最大值時的n的取值即可求得實數k的值；

解法二：由題意可知，滿足題意時有，據此求解實數k的范圍，結合k為正整數即可求得實數k的值.

(1)設數列的前n項和為，

由于數列{an}的前n項的“均倒數”為，

所以，

=，

當，

當，

（對當成立），

．

(2)==，

==，

<對一切恒成立，

，

解之得，

即m的取值范圍是．

(3)解法一：=，

由于=，

時，時，

時取得最大值，

即存在正整數k=10使得對一切恒成立．

解法二：=，

假設存在正整數k使得則為數列中的最大項，

由得，

，

又，

k=10，

即存在正整數k=10使得對一切恒成立．