Question

設向量

a

、

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

+

b

|，則向量

a

與

a

-

b

的夾角為（　　）

A．60⁰

B．30⁰

C．90⁰

D．120⁰

Answer 1

分析：將|

a

|=|

b

|=|

a

+

b

|各項進行平方，進行等量代換后，應得出

a

•

b

=-

1

2

|

a

|²，再根據cos＜

a

，

a

-

b

^_＞=

a •( a -  b )

| a | ×| a - b |

⁼

a 2- a • b

| a | ×| a - b |

，結合特殊角的三角函數值求出夾角．

解答：解：∵|

a

|=|

b

|=|

a

+

b

|，各項進行平方得

a 2= b 2① a 2=( a + b )2②

將②化簡得：|

a

|²=|

a

|²+|

b

|²+2|

a

||

b

|cosθ
將①代入得：|

a

|²=2|

a

|²+2|

a

|²cosθ，∴cosθ=-

1

2

，θ=120°，∴

a

•

b

=-

1

2

|

a

|²，|

a

-

b

|=

( a - b )2

=

a 2-2 a • b + b 2

=

3

|

a

|
∴cos＜

a

，

a

-

b

＞=

a •( a -  b )

| a | ×| a - b |

=

a 2- a • b

| a | ×| a - b |

=

a 2-(- 1 2 a 2)

| a | × 3 | a |

=

3

2

，∴向量

a

與

a

-

b

的夾角為 30°
故選B．

點評：本題考查向量夾角的大小計算，是向量數量積公式的變形應用．此類題目思路固定，但應準確的進行數量積及模的計算．本題需進行等量代換．